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高等数学与小学数学的相天性
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| 发布时间：2005-12-9 16:54:50
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中国文档网http://www.86wd.com
一、内容的互补性
高等数学中的一些概念是小学数学中一些量的抽象，而小学数学的内容则是高等数学中抽象概念的实例。 如果站在抽象后的高度对小学数学的内容进行解释，那么小学数学的内容将是有序的、完整的。例如：加、减 、乘、除是小学数学主要的教学内容之一，在高等数学中则是映射（代数运算）的几个特例而已。如果没有小 学数学这些实例，那么就不可能理解、抽象出一般的代数运算的概念；如果在掌握了一般的代数运算的概念的 基础上讲解加、减、乘、除，就会把这些概念讲活讲完整。一般来讲，高等数学和小学数学在内容上是从以下 四个方面进行互补的。
１．个别和一般
小学数学中有平均数的计算，平均数在高等数学中就是数学期望值的特例。如果站在数学期望的高度来讲 解平均数，教师就会着重强调平均数和各个数之间差异，学生就会知道全班数学平均分数和每个学生的分数， 虽然都是分数，但是它们的意义是完全不同的。反之，如果学生只会计算平均分数，而没有把平均分数和每个 学生的分数加以区别，那么学生只是多做了一些四则运算的习题。这样不仅不能活跃学生的思维，而且也不利 于提高学生的学习兴趣。再如小学数学中求自然数的正约数的个数问题，则是高等数学中代数基本定理的应用 ，并且求解任一正整数约数个数的计算公式，在高等数学中也有论证。
２．有限和无限
在小学数学中，一般是在有限的范围内讨论问题，有些问题则需要利用高等数学的观点进行解释。如小学 数学中数的认识，内容虽然简单，但是其中数“数”及用“对等”的方法比较两个集合之间元素个数关系问题 必须让学生理解。这是因为数“数”的方法是高等数学中研究可列集、不可列集的基本方法；而“对等”的方 法则是比较两个集合（有限集、无限集）之间元素个数问题的基本方法。又如，小学数学中对于“自然数是无 限的”这一结论，只有用极限的观点来进行解释，学生才能正确地理解这一结论。相反，如果教师没有扎实的 高等数学根底，而是采用一些不正确的方法进行解释，不仅不能帮助学生准确地理解“自然数是无限的”这一 结论，而且会影响学生今后对极限概念的理解。再如，在小学数学中无限循环小数和分数之间的互化问题，这 一问题是高等数学中级数概念的应用，教师在教学中通过“０．９”、“０．９９…９”和“１”之间关系的 解释，就会让学生再一次体会极限的概念。
３．静止和运动
小学数学中的很多概念如果只强调结果，则是静止的。如２＋３这一表达式，只讨论其和为多少是静止的 。如果分析这个表达形式，则是运动的。这是因为：若２＝３－１，３＝１＋２，……那么这个表达式变为： ３－１＋１＋２，……；若２、３分别表示２号房间和３号房间里人数之和，那么这个表达式的意义又不同了 。通过这一次次的变化，学生对于数学概念的理解更趋完整，这一次次的变化正是代数思想的雏型。而代数思 想是研究数学的最根本的思想之一。
４．推算和预测
小学数学中有一类问题是已知现在的值，求原来的值。例如：现对甲、乙、丙三个车间的人员进行三次调 整。第一次丙车间不动，甲、乙两个车间中的一个车间调出８人给另一车间；第二次乙车间不动，甲、丙两车 间中的一个车间调出８人给另一车间；第三次甲车间不动，乙、丙两车间中的一个车间调出７人给另一车间。 三次调整后甲车间有７人，乙车间有１２人，丙车间有４人。问各车间原来有多少人。
此题若按调整先后顺序来推算，将很繁琐，而用列表进行推算则十分简单。
人 数 甲车间 乙车间 丙车间
第三次调整后 ７ １２ ４
第二次调整后 ７ ５ １１
第一次调整后 １５ ５ ３
原来 ７ １３ ３
求解这一类问题的方法是用列表（或作图）进行的，一般称这种方法为倒退法。而高等数学中更多的是已 知过去和现在的值，求未来，这一类问题称为预测，也是通过列表（或作图）利用统计的方法进行求解的。
二、思维形式的相通性
常用的思维方法有分析和综合、比较和分类、归纳和演绎、系统等方法。研究和学习高等数学必须以科学 的思维方法作指导，这已达成共识，而很多人则把小学数学看成是以培养技巧为主。从小学数学的内容来看， 如果不强调思维的培养，只是一味地训练运算技巧，那么小学数学的教学将会变得非常枯燥乏味。如果在小学 数学中强化科学思维的培养，那么将会产生事半功倍的效果，同时也会提高学生的学习兴趣。下面分别叙述四 种常用的思维方法在小学数学和高等数学中的应用。
１．分析和综合
分析，是将被研究对象的整体分为各个部分、方面、因素和层次，并分别加以考察，从而认识事物本质的 思维方法。综合，是将已有的关于研究对象的各个部分、方面、因素和层次的认识联结起来，形成对研究对象 整体性的新认识的思维方法。
分析和综合是数学中常用的思维方法，“曹冲称象”这则故事正是分析和综合方法应用的实例。七岁的小 曹冲以“称石头代称象”，运用的就是一种把整体分成若干较小而简单的问题，逐个地加以解决，从而使原问 题得以解决的方法。小学数学中运用分析和综合的方法求解的实例也很多。
例如：某一项建筑工程，由甲、乙两队承包，１２／５天可以完成，需支付１８００元；由乙、丙两队承 包，１５／４天可以完成，需支付１５００元；由甲、丙两队承包，２０／７天可以完成，需支付１６００元 。在保证“一个星期内完成这项工程”的前提下，选择哪个队单独承包费用最少？
解答这个问题必须在“天数”和“钱数”上想办法。由于同时兼顾二者难以下手，故采取把整体分成个体 分别求解。
从天数考虑，甲、乙、丙三队每天共做：
（５／１２＋４／１５＋７／２０）÷２＝３１／６０
甲队每天做：３１／６０－４／１５＝１／４
乙队每天做：３１／６０－７／２０＝１／６
丙队每天做：３１／６０－５／１２＝１／１０
即：单独承包这项工程，甲、乙、丙队分别需要４天、６天、１０天。
从钱数考虑，甲、乙、丙三队合做一天共需支付工资：
（７５０＋４００＋５６０）÷２＝８５５（元）
甲队每天所需：８５５－４００＝４５５（元）
乙队每天所需：８５５－５６０＝２９５（元）
丙队每天所需：８５５－７５０＝１０５（元）
综合列表如下：
单独承包需要天数 单独承包每天工资 完成工程工资
甲 ４ ４５５元 １８２０元
乙 ６ ２９５元 １７７０元
丙 １０ １０５元 １０５０元
根据题意可知，在一个星期内完成这项工程，选择乙队最理想。
２．比较和分类
比较，是从具有同一性的事物间寻找其差异性，或者从具有差异性的事物间寻找其同一性的思维方法。分 类，是通过比较建立集合的思维方法。
在高等数学中可以利用同态、同构的方法把整数与多项式、矩阵与线性变换、多面体和平面图等建立联系 。这就是比较、分类的方法。而小学数学中在学生掌握了自然数的四则运算法则的基础上，也是通过比较的方 法使学生掌握小数的四则运算的。
３．归纳和演绎
归纳，是从已知个别的或特殊的知识出发，概括出一般性或普遍性结论的思维方法。演绎，是从已知一般 性的或普遍性的知识出发，推断出个别或特殊的结论的思维方法。
这一方法在小学数学和高等数学中的应用是最为广泛的，这里就不一一例举了。
４．系统的方法
系统的方法，就是把研究对象作为整体，从整体的部分与部分、整体与环境的相互联系、相互作用中综合 地考察对象的思维方法，即整体思考的思维方法。
高等数学中的集合、向量空间、群等都是系统方法的应用。在小学数学中，如果利用这一思想方法不仅可 以发展学生的思维，而且在解题时，可以化繁为简，由此及彼。
例如：猎人甲带着他的猎狗到１２０千米外的猎人乙家去做客，当甲出发时，乙也正好走出家门迎接甲。 甲每小时走１０千米，乙每小时走２０千米，猎狗每小时跑３０千米。当猎狗先与乙相遇后，又返回来迎接甲 ，与甲相遇后，再转头去迎接乙。这样，猎狗在甲、乙之间往返奔跑。试问：当甲乙相遇时，猎狗共跑了多少 路程？
本题可以从问题的整体出发考虑，因为猎狗从出发起到甲、乙相遇止，它就以每小时３０千米的速度整整 跑了１２０÷（１０＋２０）＝４（小时），所以一共跑了３０×４＝１２０（千米）。
综合所述，高等数学和小学数学之间确实存在着密切的联系。如果在小学数学的教学过程中能科学地认识 高等数学与小学数学在内容上的互补性，能有意识地运用高等数学与小学数学在思维形式上的相通性，准确地 把握每个知识点的内涵和外延，融会贯通，并且积极发展学生的思维，那么将会对小学数学教学水平的提高起 到一定的推动作用。
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